I. 前言
点积（Dot Product）又称数量积或标量积（Scalar Product），这里说的是点积的结果是一个标量；叉积（Cross product）则又被称为向量积（Vector product），说的是结果为一个向量。
需要注意的是：① 叉积和点积一样依赖于欧几里德空间的度量，但与点积之不同的是，叉积还依赖于定向或右手定则 ② 两个向量 $\mathbf {a}$和 $\mathbf {b}$的叉积仅在三维空间中有定义。
$\bullet$ 点积：$\mathbf {a}\cdot\mathbf {b}$
$\bullet$ 叉积：$\mathbf {a}\times\mathbf {b}$
更多详细介绍参见Wikipedia点积和叉积 ，下面主要记录两段话。
II. 对偶性
对偶性的思想在于每当你看到一个多维空间到数轴的线性变换时，它都与那个空间中唯一一个向量对应，也就是说：应用线性变换和与这个向量点乘等价。
每当你看到一个从空间到数轴的线性变换，你都能找到一个向量被称为这个变换的对偶向量，使得应用线性变换和与对偶向量相点乘等价。