近来的随机信号分析“预习”过程中，总要用到一些傅里叶变换对，记录在此方便查阅。
1. 傅里叶变换的性质
| 名称 |
时域 |
频域 |
| 定义 |
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(jw)e^{jwt}dw$ |
$F(jw)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt$ |
| 反转 |
$f(-t)$ |
$F(-jw)$ |
| 对称性 |
$F(jt)$ |
$2\pi f(-w)$ |
| 尺度变换 |
$f(at), \quad a\neq 0$ |
$\frac{1}{|a|}F(j\frac{w}{a})$ |
| 时移特性 |
$f(t\pm t_0)$ |
$F(jw)e^{\pm jwt_0}$ |
| 频移特性 |
$f(t)e^{\mp jw_0 t}$ |
$F[j(w\pm w_0)]$ |
| 时域卷积 |
$f_1(t)*f_1(t)$ |
$F_1(jw)F_2(jw)$ |
| 频域卷积 |
$f_1(t)f_1(t)$ |
$\frac{1}{2\pi}F_1(jw)*F_2(jw)$ |
| 时域微分 |
$f^{(n)}(t)$ |
$(jw)^{n}F(jw)$ |
| 频域微分 |
$(-jt)^{n}f(t)$ |
$F^{(n)}(jw)$ |
| 相关定理1 |
$R _ {12}(\tau)=\int _ {-\infty}^{+\infty}f _ {1}(t)f _ 2(t-\tau)dt$ |
$\mathscr{F}[R_{12}(\tau)]=F_1(jw)F_2^{*}(jw)$ |
| 相关定理2 |
$R _ {21}(\tau)=\int _ {-\infty}^{+\infty}f _ 1(t-\tau)f _ 2 (t)dt$ |
$\mathscr{F}[R_{21}(\tau)]=F_1^{*}(jw)F_2(jw)$ |
2. 常用傅里叶变换对
| 名称 |
时域 |
频域 |
| 门函数 |
$g_{\tau}(t)$ |
$\tau Sa(\frac{w\tau}{2})$ |
| 单边指数函数 |
$e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$ |
$\frac{1}{\alpha+jw}$ |
| 双边指数函数 |
$e^{-\alpha|t|}$ |
$\frac{2 \alpha}{\alpha ^ 2+w^2}$ |
| 冲激函数 |
$\delta(t)$ |
$1$ |
| 常数1 |
$1$ |
$2\pi\delta(w)$ |
| 符号函数 |
$sgn(t)$ |
$\frac{2}{jw}$ |
| 阶跃函数 |
$\varepsilon(t)$ |
$\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}$ |
| 余弦函数 |
$cos(w_0 t)=\frac{1}{2}(e^{jw_0t+e^{-jw_0t}})$ |
$\pi[\delta(w+w_0)+\delta(w-w_0)]$ |
| 正弦函数 |
$sin(w_0 t)=\frac{1}{2j}(e^{jw_0t+e^{-jw_0t}})$ |
$j\pi[\delta(w+w_0)-\delta(w-w_0)]$ |
| 周期单位冲激函数 |
$$\delta _ {T}(t)=\sum\limits_{m=-\infty}^{+\infty}\delta(t-mT)$$ |
$$\frac{2\pi}{T}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(w-n\Omega)$$ |
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