牢记矩阵代表着一种线性变换
1. 矩阵与线性变换
为什么叫变换？
变换其实也就是常提起的函数的一种说法，只不过变换给人一种可视化的感觉，想一想变换，脑子里是不是有一种画面感？
线性变换
“保持网格线平行且等距分布”的变换
$\bullet$ (所有)直线在变换后仍然保持为直线，不发生弯曲。（注：有的看似没有发生弯曲，但实际上弯曲了）
$\bullet$ 原点保持固定
如何用数值表示线性变换？
$\bullet$ 向量$\hat{i},\hat{j}$经过变换后变为$\hat{i}_1,\hat{j}_1$
$\bullet$ 一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，即变换后的$\hat{i}_1$与变换后$\hat{j}_1$的两个坐标
$\bullet$ 将变换后的$\hat{i}_1,\hat{j}_1$组合在一个矩阵中，如下所示：
$$
\begin{bmatrix}
x_i & x_j\\
y_i & y_j
\end{bmatrix}
$$
考虑线性变换对向量的作用(缩放基向量再相加)
给定任意初始向量$a=[a_1,a_2]^{T}$，变换前有
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2
\end{bmatrix}=a_1\cdot
\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}
+a_2\cdot
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2
\end{bmatrix}
$$
应用线性变换（左乘变换矩阵）后的结果为
$$
\begin{bmatrix}
x_i & x_j\\
y_i & y_j
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2
\end{bmatrix}=a_1\cdot \begin{bmatrix} x_i \\
y_i\end{bmatrix}+a_2\cdot \begin{bmatrix} x_j \\
y_j\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a_1\cdot x_i+a_2\cdot x_j\\
a_1\cdot y_i+a_2\cdot y_j
\end{bmatrix}
$$
用矩阵描述一些线性变换
矩阵的每一列分别代表变换后的基向量
$\bullet$ 空间逆时针旋转$90\degree$
$$
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
$$
$\bullet$ “剪切”变换
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix}
$$
2. 向量空间
- 若变换后的$\hat{i},\hat{j}$是线性相关的（列线性相关），则该线性变换将整个二维空间挤压到它们所在的一条直线上
- 线性变换是操纵二维空间的一种手段，它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动
- 矩阵与向量相（左）乘就是线性变换作用那个向量