线性变换是对二维空间的变换，自然而然可以想到进行多个变换……
1. 考虑进行两次线性变换
对向量$\vec{a}=[x,y]^{T}$先进行逆时针旋转变换$M_1$，再进行剪切变换$M_2$，即复合变换$M_0$，应当是这样一个过程：向量$\vec{a}$先左乘矩阵$M_1$，再将结果左乘$M_2$，最终结果应该和向量$\vec{a}$左乘$M_0$相等：
$$
M_2 M_1\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=M_0\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}
$$
$$
\Downarrow\\
M_2 M_1=M_0
$$
注：$\bullet$ 矩阵左乘代表一种变换，应该从右往左读，类比复合函数$f(g(x))$
$\kern{distance=1.175cm}\bullet$ 时刻记得两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用
举个栗子
例如：
$$
M_1=\begin{bmatrix}
1 & -2 \\
1 & 0
\end{bmatrix},\quad M_2=\begin{bmatrix}
0 & 2\\
1 & 0
\end{bmatrix}
$$
线性变换矩阵的列代表的是变换后的基向量，则经过$M_1$变换后$\hat{i}=[1 ,1]^T$，$\hat{j}=[-2,0]^T$，再经过$M_2$变换后$\hat{i},\hat{j}$分别变为
$$
\hat{i}=\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
$$
$$
\hat{j}=\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-2\\
0\end{bmatrix}
$$
这里就是第三章中的线性变换作用于特定向量的操作。
矩阵乘法的一些特性
$\bullet$ 矩阵作用先后顺序不同，结果一般不同，即$M_1M_2\neq M_2M_1$
$\bullet$ 矩阵乘法结合律：$(AB)C=A(BC)$（用变换的思路来证明它是很方便的，从右到左的顺序）
$\bullet$ 良好的解释$>$象征性的证明
推广到高维空间
$\bullet$ 三维空间：$\hat{i},\hat{j},\hat{k}$