线性变换是对二维空间的变换，自然而然可以想到进行多个变换……

1. 考虑进行两次线性变换

  对向量 a⃗=[x,y]T\vec {a}=[x,y]^{T} 先进行逆时针旋转变换 M1M_1，再进行剪切变换 M2M_2，即复合变换 M0M_0，应当是这样一个过程：向量 a⃗\vec {a} 先左乘矩阵 M1M_1，再将结果左乘 M2M_2，最终结果应该和向量 a⃗\vec {a} 左乘 M0M_0 相等：

M2M1[xy]=M0[xy] M_2 M_1\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=M_0\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} ⇓M2M1=M0 \Downarrow\\ M_2 M_1=M_0

  注：∙\bullet 矩阵左乘代表一种变换，应该从右往左读，类比复合函数 f(g(x))f (g (x))

∙\kern {distance=1.175cm}\bullet 时刻记得两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用

举个栗子

  例如：

M1=[1−210],M2=[0210] M_1=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\quad M_2=\begin{bmatrix} 0 & 2\\ 1 & 0 \end{bmatrix}

线性变换矩阵的列代表的是变换后的基向量，则经过 M1M_1 变换后 i^=[1,1]T\hat {i}=[1 ,1]^T，j^=[−2,0]T\hat {j}=[-2,0]^T，再经过 M2M_2 变换后 i^,j^\hat {i},\hat {j} 分别变为

i^=[0210][11] \hat{i}=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} j^=[0210][−20] \hat{j}=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2\\ 0\end{bmatrix}

这里就是第三章中的线性变换作用于特定向量的操作。

矩阵乘法的一些特性

   ∙\bullet 矩阵作用先后顺序不同，结果一般不同，即 M1M2≠M2M1M_1M_2\neq M_2M_1

   ∙\bullet 矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)(AB) C=A (BC)（用变换的思路来证明它是很方便的，从右到左的顺序）

   ∙\bullet 良好的解释 >> 象征性的证明

推广到高维空间

   ∙\bullet 三维空间：i^,j^,k^\hat {i},\hat {j},\hat {k}