1. 逆矩阵

  前面已经知道，矩阵代表着一种线性变换，是对空间的一种操纵，逆矩阵自然也不例外。矩阵$A^{-1}$对空间的操纵和矩阵$A$相反。

逆变换$A^{-1}$

  对向量先应用$A$，再应用$A$的逆变换$A^{-1}$，则将回到原来的位置，也就是说 $\fcolorbox{red}{aqua}{$A^{-1}A$}$是一个恒等变换。

$$ A^{-1}A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\tag{1} $$

$A^{-1}$不存在

逆变换不存在的情况：$det(A)=0$

   $\bullet$ 从几何上来看：$det(A)=0$意味着$A$这个变换将空间压缩降维了，可能是由三维空间变为二维平面或直线等，这时就不能找到一个变换将直线或平面“解压”为三维空间，至少没有一个函数能够做到这一点。

   $\bullet$ 逆变换不存在等价于$det(A)=0$，但是这并不意味着$A\vec{X}=\vec{V}$一定没有解。例如在二维空间，$A$矩阵行列式为零同时将二维空间压缩为直线，而向量$\vec{V}$恰好位于这条直线上。

线性方程组

  矩阵在求解线性方程组时可谓是大有用处，如何将线性方程组转化为矩阵的运算来求解呢？

设有如下方程组：

$$ \begin{alignedat}{3} \color{blue}2&\bm x+ &\color{blue}5&\bm y + &\color{blue}3&\bm z = \color{red}-3 \\ \color{blue}4&\bm x+ &\color{blue}0&\bm y + &\color{blue}8&\bm z =\color{red}0 \\ \color{blue}1&\bm x+ &\color{blue}3&\bm y + &\color{blue}0&\bm z =\color{red} 2 \end{alignedat}\tag{2} $$

则其可改写为矩阵形式：

$$ \begin{bmatrix} \color{blue} 2 &\color{blue} 5 &\color{blue} 3\\ \color{blue}4 & \color{blue}0 &\color{blue} 8\\ \color{blue}1 &\color{blue} 3 &\color{blue} 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \bm x\\ \bm y\\ \bm z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \color{red}-3\\ \color{red}0\\ \color{red}2 \end{bmatrix}\tag{3} $$

$$ \bm\Darr $$

$$ \fcolorbox{red}{aqua}{$A\vec{X}=\vec{V}$}\tag{4} $$

进一步利用矩阵的逆变换特点即式$(1)$，（假设$A^{-1}$存在）将式$(4)$改写为

$$ A^{-1}A\vec{X}=A^{-1}\vec{V}\tag{5} $$

$$ \bm\Darr $$

$$ \fcolorbox{red}{aqua}{$\vec{X}=A^{-1}\vec{V}$}\tag{6} $$

2. 秩(rank)

秩代表变换后空间的维数：

  $\bullet$ 当变换结果为一条直线时，则该变换的秩为1

  $\bullet$ 当变换后的向量在二维平面上时，则该变换的秩为2

矩阵维数与秩的关系

  $\bullet$ 对于$2\times 2$的矩阵，它的秩最大为$2$，意味着基向量仍旧能够张成二维空间并且矩阵的行列式不为零。但是对于$3\times 3$的矩阵，秩为$2$就意味着空间被压缩成了二维平面，相比秩为$1$压缩为直线来说不严重。

  $\bullet$ 如果一个三维变换的行列式不为零，变换结果仍旧能充满真个三维空间，则秩为$3$。

列空间维数与秩

  $\bullet$ 列空间就是所有变换结果可能的集合，而变换后的基向量张成的空间就是所有可能的结果。换言之，列空间就是矩阵的列所张成的空间。所以秩也就是列空间的维数。

  $\bullet$ 满秩：秩与列数相等

  $\bullet$ 零向量一定被包含在列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变。

零空间

  $\bullet$ 对于一个满秩变换来说，唯一能够在变换后落在原点的就是零向量自身，但对于非满秩的矩阵来说，它将空间压缩为一个更低的维度，也就是说会有一系列向量在变换后成为零向量。

  $\bullet$ 变换后落在原点的向量集合称为矩阵的“零空间”或“核”。

  $\bullet$ 列空间的概念让我们清楚什么时候存在解，零空间则有助于告诉我们所有可能的集合是什么样的。

3. 补充：非方阵

  前面说的都是针对方阵来说，接下来是一些关于非方阵相关概念的理解。

$3\times 2$矩阵

  有如下3行2列的矩阵：

$$ \begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 1\\ -2 & 1 \end{bmatrix} $$

  这个矩阵的列空间是三维空间中的一个过原点的二维平面，该矩阵为“满秩”。因为列空间的维数与输入空间维数相等。其几何意义是将二维空映射到三维空间上：

  $\bullet$ 因为矩阵有两列表明输入空间有两个基向量

  $\bullet$ 有三行表明每一个基向量在变换后都用三个独立的坐标来描述。

$2\times 3$矩阵

  有如下$2$行$3$列的矩阵：$3$列表明原始空间有$3$个基向量，即原始空间是三维的；$2$行表明基向量在变换后用两个坐标来描述。

$$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3\\ -1 & 1 & 7 \end{bmatrix} $$

$1\times 2$矩阵

  有如下1行2列的矩阵：

$$ \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} $$

  它表示的是二维空间到一维空间（数轴）的变换，这样的变换接收一个二维向量，然后产生一个数。矩阵的两列分别代表了变换后的基向量，而它们都只需一个数字，即变换后基向量在数轴上的位置。

  这类变换与点积紧密相关